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课程简介

经过了对一次函数、二次函数各个方面学习的洗礼后,我们也掌握如何彻底地研究一个函数:定义域、值域、单调性、奇偶性等等。运用这些思路,超级课堂将帮助同学们接收接下来如爆炸般各个基本初等函数的信息,其中之一就为指数函数。面对这突如其来的轰炸,我们将系统、细腻地梳理各个概念之间的联系与区别,并升华到分数指数、无理数指数、指数型复合函数的层面,带给大家“吃透炸弹”的快感!

视频列表
  • 1、介绍了$n$次方根的概念及相关概念
    2、 介绍$n$次方根的两条运算性质,性质一,$(\sqrt[n]{a})^{n}=a$,当$n$为偶数时有$a\geq 0$的隐含条件。性质二,(1)当$n$为奇数时,$\sqrt[n]{a^{n}}=a$;(2)当$n$为偶数时,$\sqrt[n]{a^{n}}=\left | a \right |=\left\{\begin{matrix} a,a\geq 0\\ -a,a<0\end{matrix}\right. $
  • 1、利用根式的两条性质来进行化简时,可以由根指数$n$为偶数,被开方数$\geq 0$的隐含条件,得到$a$的范围,然后化简根式。而反过来,也可以根据化简结果来反推字母的取值范围
    2、 化简根式还能帮我们解无理方程,解无理方程的基本思想就是去根号,化为有理方程
    3、 化简复合二次根式$\sqrt{A\pm \sqrt{B}}$的方法:观察法、待定系数法、平方法
  • 1、实数指数幂包括有理数指数幂与无理数指数幂,其中有理数指数幂包括整数指数幂与分数指数幂
    2、 正数的分数指数幂是根式的另一种写法
    3、 在把根式转化为分数指数幂与的过程中,如果底数对应的数或代数式是负值,则必须先利用偶次方将负数或负值代数式化为正数或正值代数式后,才能化为分数指数幂
    4、 无理数指数幂是一个确定的实数,在数轴上可以找到与之对应的点
  • 1、同底数幂相乘——底数不变,指数相加
    2、 幂的乘方——底数不变,指数相乘
    3、 积的乘方——等于乘方的积
    4、 一定要注意底数大于$0$的前提,如果底数是负数或负值代数式,则一定要将它转化为正数或正值代数式
  • 1、对于分数指数幂$a^{\dfrac{m}{n}}$的求值,如果指数的分母$n$较大,通常我们会先将底数$a$化成某个数的$n$次方
    2、 对于分数指数幂之间的乘除运算,注意两点:(1)系数与同底数幂要分开运算;(2)同底数幂相乘,指数相加;相除,指数相减
    3、 运算中要注意“先化简再代入计算”的原则
  • 1、根式运算时,把根式化成分数指数幂,运算起来会简单很多。注意在化简多重根式时,要由内向外层层转化
    2、 运用代数公式进行化简时,要熟悉三种常用的代数公式进行式子的化简。此外还有一个常用公式:$(a^{n}+a^{-n})^{2}-(a^{n}-a^{-n})^{2}=4$,$a>0$,$n\in R$
  • 1、掌握指数函数的定义。注意判断指数函数的几个易错点
    2、 求指数函数解析式的常用方法是待定系数法。注意不能取$x=0$,$y=1$
    3、 了解指数函数的图象与性质:底数$a$按照是否大于$1$分成两类,大于$1$时,是递增的曲线;大于$0$小于$1$则是递减的曲线。它们都经过$(0,1)$这点,都一端趋近于$x$轴,一端无限上升。且$y=a^{x}$和$y=(\dfrac{1}{a})^{x}$的图象关于$y$轴对称
  • 1、解决几道涉及指数函数图象和结合最值函数、绝对值函数、分段函数图像求值域的题目,旨在帮助大家熟悉指数函数的图象
  • 1、?由单调性求字母范围时,单增推出$a$大于$1$,单减推出$0$小于$a$小于$1$
    2、 注意组合函数和分段函数单调性的判断,这些内容都在之前的函数章节重点强调过的,忘记的同学记得返回观看哦
  • 1、解决与值域相关的问题时,当底数固定时,根据单调性,结合图象就能求出相应区间内的值域
    2、 当底数不固定,有未知字母时。有些问题不需要讨论底数,比如恒成立问题,及最值之和的问题;而有些问题需要搞清哪个是最大值,哪个是最小值,这时就要分类讨论了,比如最值之差的问题
  • 1、利用指数函数的单调性解决第一类指数不等式$a^{f(x)}>a^{g(x)}$。若$a>1$,则指数函数$y=a^{x}$单调递增,由函数值的大小关系和指数的大小关系一致。若$0<a<1$,则指数函数$y=a^{x}$单调递减,由函数值的大小关系和指数的大小关系相反
    2、 需要注意两点:(1)若底数不确定,需要分类讨论;(2)要化为同底数幂形式
  • 1、对于第二类指数不等式$A\cdot a^{2x}+B\cdot a^{x}+C>0$,不等式的左边可以看成是指数函数和二次函数构成的复合函数。所以可以采用换元法,将$a^{x}$整体换成$t$,化为$At^{2}+Bt+C>0$
    2、 再通过图象求$t$的范围,进而求$x$的范围。要注意一点$t>0$
  • 1、比较指数幂的值的大小,一般有两种题型:底数相同,指数不同和指数相同,底数不同
    2、 底数相同,指数不同时,利用指数函数的单调性比较即可
    3、 指数相同,底数不同时,有两种方法:图像法或作商法
    4、 图像法的基本原理是:当底数都大于$1$时,底数越大,指数函数的曲线就越陡。当底数都大于$0$小于$1$时,底数越小,指数函数的曲线就越陡。通过图像的高低就能判断出同指数时,函数值的大小了
    5、 作商法,即把指数幂相除,再看指数函数的函数值是大于$1$,还是小于$1$即可
  • 1、判断底数不同且指数不同的幂的大小的前两种常用技巧:标准值法,图象法
    2、 标准值法,就是选取一个大小位于它们之间的标准值,把两个指数幂分别与这个标准值比较
    3、 图象法,只要将各个图象画在同一个坐标系,然后去找相应的函数值
  • 1、学习判断底数不同且指数不同的幂的大小的第三种技巧乘方化整法,即把它们同时$k$次方
    2、 如果$(a^{m})^{k}>(b^{n})^{k}$,则$a^{m}>b^{n}$;如果$(a^{m})^{k}<(b^{n})^{k}$,则$a^{m}<b^{n}$。一般$k$次方后,幂会变成一个整数,所以$(a^{m})^{k}$和$(b^{n})^{k}$的大小很好比较
    3、 最后一道题,滴水不漏的证明$B>A$,难度非常大,尤其是分子分母同除以的那个式子,可谓神来之笔,大家要好好体会
  • 1、指数型复合函数定义域的求法,依旧遵守由外向内的原则
    2、 指数型复合函数过定点的问题有两种情况:对于外层为指数函数的复合函数,$y=a^{f(x)}$,如果$f(m)=0$,则$y=1$。即$x=m$时,$y=1$,复合函数过定点$(m,1)$。对于内层为指数函数的复合函数,即$y=f(a^{x})$,当$x=0$时,$a^{x}=1$,$y$就一定等于$f(1)$,复合函数过定点$(0,f(1))$
  • 1、指数型复合函数单调性,依旧和复合函数单调性一样,通过同增异减来确定复合后整体的单调性
    2、 如果题目要你证明单调性,就必须用定义法来操作
  • 1、指数型复合函数值域的求解
    2、 依旧遵循由内向外的原则。在具体求解时,可以用换元法,令内层函数为$t$。然后由$x$的范围求内层函数t的值域,在把$t$的值域当成外层函数定义域,求外层函数值域,即复合函数值域
    3、 当指数函数的底数不确定时,要注意分类讨论。当二次函数系数不确定时,也要注意分类讨论。此外,你还要熟悉超级课堂之前函数系列的课程,对第一类、第二类对勾函数的特性,增减性,奇偶性的知识有充分的理解和灵活的运用
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