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课程简介

在这个章节,我们将学习函数的奇偶性。奇偶性这个名字,乍一听很怪。但其实就是满足f(-x)=-f(x)以及f(-x)=f(x)的函数,这种函数在图像上分别具有中心对称和轴对称的性质,这些特殊的性质让奇偶性成为研究的重点对象。除了判别奇偶性,我们还要学会奇偶性的应用,包括利用奇偶性求未知参数,求函数值,求解析式,求抽象函数的奇偶性和单调区间等等。这些都是常见的有关函数的考点,跟着超级课堂一起全部搞定吧!

视频列表
  • 1、对于函数奇偶性的概念,记住定义式。奇函数:$f(-x)=-f(x)$;偶函数:$f(-x)=f(x)$
    2、 判断奇偶性的方法:判断定义域是否关于原点对称;求$f(-x)$
  • 1、既是奇函数又是偶函数的函数,它满足$f(-x)=-f(x)$,也满足$f(-x)=f(x)$,两式相减得到:$f(x)=0$,即函数值恒为0的零值函数。但要注意,只有定义域关于原点对称的零值函数才既是奇函数又是偶函数
    2、 介绍奇偶函数组合的规律。不仅适用于两个函数的组合,还适用于三个甚至更多函数的组合
  • 1、奇偶函数各自的图像特征:偶函数的图象是关于$y$轴的轴对称图形
    2、 奇函数的图象是关于原点的中心对称图形
    3、 图像对称性和函数奇偶性的互推技巧
    4、 利用图像求不等式解集
  • 1、左右和上下平移后,函数对称轴或对称中心,以及奇偶性的变化规律
    2、 牢记奇偶函数的对称中心和对称轴,再牢记“左加右减,上加下减”的平移规律
  • 1、由奇偶性和解析式求未知参数
    2、 对于简单的解析式,就直接采用定义式
    3、 对于用定义式难以解决的题目,我们介绍了多项式函数法,它利用的是组合函数奇偶性的规律
  • 1、介绍由奇偶性和解析式求未知参数的另一个技巧原点法
    2、 它是专门针对奇函数的,因为若一个奇函数在$x=0$处有定义,则$f(0)=0$,所以可以通过$f(0)=0$来求未知参数
    3、 要注意使用原点法的前提是函数在$x=0$处有定义
  • 1、对于求对称区间解析式的这类题,首先都是要求$f(-x)$,然后利用奇偶函数的定义式,得到$f(x)$的解析式
    2、 对于求函数值的题目,直接利用定义式即可,注意奇偶函数对称区间值域的性质,灵活运用它就可以避免去计算解析式
  • 1、一类特殊的函数,它由一个奇函数和一个常数项相加而成。即$g(x)=f(x)+c$,$f(x)$为奇函数。此时,它满足$g(x)+g(-x)=2c$,即当这种函数的自变量取相反数时,它们函数值的和刚好为二倍的常数项
    2、 这个结论也能反着用,即若已知$f(x)+f(-x)=2c$,则可知$f(x)$能写成奇函数+常数的形式
    3、 一个诡异的扩展结论:若$f(x)+f(-x)=2c$,则$f(x)$的对称中心为$(0,c)$
  • 1、利用赋值法判断抽象函数的奇偶性时,如果已知$f(x+y)$与$f(x)$、$f(y)$的关系,可以将$-x$赋给$y$,这样就知道了$f(x)$、$f(-x)$与$f(0)$的关系。然后再赋值,求$f(0)$的大小,从而得到$f(-x)$与$f(x)$的关系,即可判断$f(x)$的奇偶性了
    2、 如果已知$f(xy)$与$f(x)$、$f(y)$的关系,可以将$-1$赋给$y$,这样就知道了$f(-x)$、$f(x)$与$f(-1)$的关系。然后再赋值,求$f(-1)$,从而得到$f(-x)$与$f(x)$的关系,即可判断$f(x)$的奇偶性了
  • 1、利用赋值法判断抽象函数的单调性时,如果已知$f(xy)$与$f(x)$、$f(y)$的加减关系,要转化成差的形式,即$f(xy)-f(y)=f(x)$,从而用赋值法变成$f(x_{2})-f(x_{1})$
    2、 如果已知$f(xy)$与$f(x)$、$f(y)$的乘除关系,要转化成商的形式,注意在用作商法的时候,要证明$f(x)$在定义域内恒大于$0$
  • 1、抽象函数的奇偶性和单调性的混合题型
    2、 简单的函数值大小比较问题,用转化函数值法或图象分析法即可
    3、 奇偶性和单调性之间存在一种很简单的规律即偶函数在其对称区间上的单调性相反;奇函数在其对称区间上的单调性相同
    4、 $f(a)+f(b)>0$或$<0$
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